3.6.97 \(\int (d x)^m (a+b x^n+c x^{2 n})^2 \, dx\) [597]

Optimal. Leaf size=117 \[ \frac {2 a b x^{1+n} (d x)^m}{1+m+n}+\frac {\left (b^2+2 a c\right ) x^{1+2 n} (d x)^m}{1+m+2 n}+\frac {2 b c x^{1+3 n} (d x)^m}{1+m+3 n}+\frac {c^2 x^{1+4 n} (d x)^m}{1+m+4 n}+\frac {a^2 (d x)^{1+m}}{d (1+m)} \]

[Out]

2*a*b*x^(1+n)*(d*x)^m/(1+m+n)+(2*a*c+b^2)*x^(1+2*n)*(d*x)^m/(1+m+2*n)+2*b*c*x^(1+3*n)*(d*x)^m/(1+m+3*n)+c^2*x^
(1+4*n)*(d*x)^m/(1+m+4*n)+a^2*(d*x)^(1+m)/d/(1+m)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]
time = 0.05, antiderivative size = 117, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 10, number of rules used = 3, integrand size = 22, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.136, Rules used = {1367, 20, 30} \begin {gather*} \frac {a^2 (d x)^{m+1}}{d (m+1)}+\frac {x^{2 n+1} \left (2 a c+b^2\right ) (d x)^m}{m+2 n+1}+\frac {2 a b x^{n+1} (d x)^m}{m+n+1}+\frac {2 b c x^{3 n+1} (d x)^m}{m+3 n+1}+\frac {c^2 x^{4 n+1} (d x)^m}{m+4 n+1} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(d*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2,x]

[Out]

(2*a*b*x^(1 + n)*(d*x)^m)/(1 + m + n) + ((b^2 + 2*a*c)*x^(1 + 2*n)*(d*x)^m)/(1 + m + 2*n) + (2*b*c*x^(1 + 3*n)
*(d*x)^m)/(1 + m + 3*n) + (c^2*x^(1 + 4*n)*(d*x)^m)/(1 + m + 4*n) + (a^2*(d*x)^(1 + m))/(d*(1 + m))

Rule 20

Int[(u_.)*((a_.)*(v_))^(m_)*((b_.)*(v_))^(n_), x_Symbol] :> Dist[b^IntPart[n]*((b*v)^FracPart[n]/(a^IntPart[n]
*(a*v)^FracPart[n])), Int[u*(a*v)^(m + n), x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]
&&  !IntegerQ[m + n]

Rule 30

Int[(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(m + 1), x] /; FreeQ[m, x] && NeQ[m, -1]

Rule 1367

Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d
*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[p, 0] &&  !Int
egerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rubi steps

\begin {align*} \int (d x)^m \left (a+b x^n+c x^{2 n}\right )^2 \, dx &=\int \left (a^2 (d x)^m+2 a b x^n (d x)^m+b^2 \left (1+\frac {2 a c}{b^2}\right ) x^{2 n} (d x)^m+2 b c x^{3 n} (d x)^m+c^2 x^{4 n} (d x)^m\right ) \, dx\\ &=\frac {a^2 (d x)^{1+m}}{d (1+m)}+(2 a b) \int x^n (d x)^m \, dx+(2 b c) \int x^{3 n} (d x)^m \, dx+c^2 \int x^{4 n} (d x)^m \, dx+\left (b^2+2 a c\right ) \int x^{2 n} (d x)^m \, dx\\ &=\frac {a^2 (d x)^{1+m}}{d (1+m)}+\left (2 a b x^{-m} (d x)^m\right ) \int x^{m+n} \, dx+\left (2 b c x^{-m} (d x)^m\right ) \int x^{m+3 n} \, dx+\left (c^2 x^{-m} (d x)^m\right ) \int x^{m+4 n} \, dx+\left (\left (b^2+2 a c\right ) x^{-m} (d x)^m\right ) \int x^{m+2 n} \, dx\\ &=\frac {2 a b x^{1+n} (d x)^m}{1+m+n}+\frac {\left (b^2+2 a c\right ) x^{1+2 n} (d x)^m}{1+m+2 n}+\frac {2 b c x^{1+3 n} (d x)^m}{1+m+3 n}+\frac {c^2 x^{1+4 n} (d x)^m}{1+m+4 n}+\frac {a^2 (d x)^{1+m}}{d (1+m)}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]
time = 0.16, size = 86, normalized size = 0.74 \begin {gather*} x (d x)^m \left (\frac {a^2}{1+m}+\frac {2 a b x^n}{1+m+n}+\frac {\left (b^2+2 a c\right ) x^{2 n}}{1+m+2 n}+\frac {2 b c x^{3 n}}{1+m+3 n}+\frac {c^2 x^{4 n}}{1+m+4 n}\right ) \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(d*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2,x]

[Out]

x*(d*x)^m*(a^2/(1 + m) + (2*a*b*x^n)/(1 + m + n) + ((b^2 + 2*a*c)*x^(2*n))/(1 + m + 2*n) + (2*b*c*x^(3*n))/(1
+ m + 3*n) + (c^2*x^(4*n))/(1 + m + 4*n))

________________________________________________________________________________________

Maple [C] Result contains higher order function than in optimal. Order 9 vs. order 3.
time = 0.05, size = 1065, normalized size = 9.10

method	result	size
risch	\(\frac {x \left (8 a b \,x^{n} m +12 a b \,m^{2} x^{n}+a^{2}+2 a b \,m^{4} x^{n}+2 b c \,m^{4} x^{3 n}+8 b^{2} m^{3} n \,x^{2 n}+19 b^{2} m^{2} n^{2} x^{2 n}+12 b^{2} m \,n^{3} x^{2 n}+8 b c \,m^{3} x^{3 n}+16 b c \,n^{3} x^{3 n}+18 c^{2} m n \,x^{4 n}+8 a c \,m^{3} x^{2 n}+24 a c \,n^{3} x^{2 n}+2 a c \,m^{4} x^{2 n}+24 b^{2} m n \,x^{2 n}+8 m b c \,x^{3 n}+14 b c \,x^{3 n} n +24 b^{2} m^{2} n \,x^{2 n}+6 c^{2} m^{3} n \,x^{4 n}+11 c^{2} m^{2} n^{2} x^{4 n}+6 c^{2} m \,n^{3} x^{4 n}+38 b^{2} m \,n^{2} x^{2 n}+12 b c \,m^{2} x^{3 n}+28 b c \,n^{2} x^{3 n}+8 a c \,x^{2 n} m +16 a c \,x^{2 n} n +12 a c \,m^{2} x^{2 n}+38 a c \,n^{2} x^{2 n}+18 c^{2} m^{2} n \,x^{4 n}+22 c^{2} m \,n^{2} x^{4 n}+4 b^{2} m^{3} x^{2 n}+12 b^{2} n^{3} x^{2 n}+4 m \,c^{2} x^{4 n}+6 c^{2} x^{4 n} n +6 b^{2} m^{2} x^{2 n}+19 b^{2} n^{2} x^{2 n}+4 b^{2} x^{2 n} m +8 b^{2} x^{2 n} n +4 c^{2} m^{3} x^{4 n}+6 c^{2} n^{3} x^{4 n}+b^{2} m^{4} x^{2 n}+18 a b \,x^{n} n +2 a b \,x^{n}+2 x^{3 n} b c +2 x^{2 n} a c +c^{2} m^{4} x^{4 n}+6 c^{2} m^{2} x^{4 n}+11 c^{2} n^{2} x^{4 n}+70 a^{2} m \,n^{2}+30 a^{2} m n +52 a b \,n^{2} x^{n}+4 a^{2} m +10 a^{2} n +8 a b \,m^{3} x^{n}+48 a b \,n^{3} x^{n}+48 a c \,m^{2} n \,x^{2 n}+24 a^{2} n^{4}+10 a^{2} m^{3} n +35 a^{2} m^{2} n^{2}+50 a^{2} m \,n^{3}+30 a^{2} m^{2} n +x^{4 n} c^{2}+a^{2} m^{4}+4 a^{2} m^{3}+50 a^{2} n^{3}+6 a^{2} m^{2}+35 a^{2} n^{2}+b^{2} x^{2 n}+76 a c m \,n^{2} x^{2 n}+42 b c m n \,x^{3 n}+48 a c m n \,x^{2 n}+14 b c \,m^{3} n \,x^{3 n}+28 b c \,m^{2} n^{2} x^{3 n}+16 b c m \,n^{3} x^{3 n}+16 a c \,m^{3} n \,x^{2 n}+38 a c \,m^{2} n^{2} x^{2 n}+24 a c m \,n^{3} x^{2 n}+42 b c \,m^{2} n \,x^{3 n}+56 b c m \,n^{2} x^{3 n}+48 a b m \,n^{3} x^{n}+54 a b \,m^{2} n \,x^{n}+104 a b m \,n^{2} x^{n}+54 a b m n \,x^{n}+18 a b \,m^{3} n \,x^{n}+52 a b \,m^{2} n^{2} x^{n}\right ) {\mathrm e}^{\frac {m \left (i \pi \,\mathrm {csgn}\left (i x \right ) \mathrm {csgn}\left (i d x \right )^{2}-i \pi \,\mathrm {csgn}\left (i x \right ) \mathrm {csgn}\left (i d x \right ) \mathrm {csgn}\left (i d \right )-i \pi \mathrm {csgn}\left (i d x \right )^{3}+i \pi \mathrm {csgn}\left (i d x \right )^{2} \mathrm {csgn}\left (i d \right )+2 \ln \left (x \right )+2 \ln \left (d \right )\right )}{2}}}{\left (1+m \right ) \left (1+m +n \right ) \left (1+m +2 n \right ) \left (1+m +3 n \right ) \left (1+m +4 n \right )}\)	\(1065\)

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x)^m*(a+b*x^n+c*x^(2*n))^2,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

x*(8*a*b*x^n*m+2*b*c*m^4*(x^n)^3+12*a*b*m^2*x^n+b^2*(x^n)^2+8*b^2*m^3*n*(x^n)^2+19*b^2*m^2*n^2*(x^n)^2+a^2+12*
b^2*m*n^3*(x^n)^2+8*b*c*m^3*(x^n)^3+16*b*c*n^3*(x^n)^3+18*c^2*m*n*(x^n)^4+2*a*b*m^4*x^n+8*a*c*m^3*(x^n)^2+24*a
*c*n^3*(x^n)^2+2*a*c*m^4*(x^n)^2+2*(x^n)^3*b*c+2*(x^n)^2*a*c+c^2*m^4*(x^n)^4+(x^n)^4*c^2+6*c^2*m^2*(x^n)^4+11*
c^2*n^2*(x^n)^4+4*b^2*m^3*(x^n)^2+12*b^2*n^3*(x^n)^2+4*m*c^2*(x^n)^4+6*c^2*(x^n)^4*n+6*b^2*m^2*(x^n)^2+19*b^2*
n^2*(x^n)^2+24*b^2*m*n*(x^n)^2+8*m*b*c*(x^n)^3+14*b*c*(x^n)^3*n+24*b^2*m^2*n*(x^n)^2+18*a*b*x^n*n+2*a*b*x^n+6*
c^2*m^3*n*(x^n)^4+11*c^2*m^2*n^2*(x^n)^4+6*c^2*m*n^3*(x^n)^4+38*b^2*m*n^2*(x^n)^2+12*b*c*m^2*(x^n)^3+28*b*c*n^
2*(x^n)^3+4*b^2*(x^n)^2*m+8*b^2*(x^n)^2*n+70*a^2*m*n^2+30*a^2*m*n+52*a*b*n^2*x^n+8*a*c*(x^n)^2*m+16*a*c*(x^n)^
2*n+4*a^2*m+10*a^2*n+8*a*b*m^3*x^n+48*a*b*n^3*x^n+12*a*c*m^2*(x^n)^2+38*a*c*n^2*(x^n)^2+4*c^2*m^3*(x^n)^4+6*c^
2*n^3*(x^n)^4+b^2*m^4*(x^n)^2+18*c^2*m^2*n*(x^n)^4+22*c^2*m*n^2*(x^n)^4+24*a^2*n^4+10*a^2*m^3*n+35*a^2*m^2*n^2
+50*a^2*m*n^3+30*a^2*m^2*n+a^2*m^4+4*a^2*m^3+50*a^2*n^3+6*a^2*m^2+35*a^2*n^2+48*a*b*m*n^3*x^n+48*a*c*m^2*n*(x^
n)^2+76*a*c*m*n^2*(x^n)^2+42*b*c*m*n*(x^n)^3+54*a*b*m^2*n*x^n+104*a*b*m*n^2*x^n+48*a*c*m*n*(x^n)^2+54*a*b*m*n*
x^n+14*b*c*m^3*n*(x^n)^3+28*b*c*m^2*n^2*(x^n)^3+16*b*c*m*n^3*(x^n)^3+16*a*c*m^3*n*(x^n)^2+38*a*c*m^2*n^2*(x^n)
^2+24*a*c*m*n^3*(x^n)^2+42*b*c*m^2*n*(x^n)^3+56*b*c*m*n^2*(x^n)^3+18*a*b*m^3*n*x^n+52*a*b*m^2*n^2*x^n)/(1+m)/(
1+m+n)/(1+m+2*n)/(1+m+3*n)/(1+m+4*n)*exp(1/2*m*(-I*csgn(I*d*x)^3*Pi+I*csgn(I*d*x)^2*csgn(I*d)*Pi+I*csgn(I*d*x)
^2*csgn(I*x)*Pi-I*csgn(I*d*x)*csgn(I*d)*csgn(I*x)*Pi+2*ln(x)+2*ln(d)))

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]
time = 0.30, size = 152, normalized size = 1.30 \begin {gather*} \frac {c^{2} d^{m} x e^{\left (m \log \left (x\right ) + 4 \, n \log \left (x\right )\right )}}{m + 4 \, n + 1} + \frac {2 \, b c d^{m} x e^{\left (m \log \left (x\right ) + 3 \, n \log \left (x\right )\right )}}{m + 3 \, n + 1} + \frac {b^{2} d^{m} x e^{\left (m \log \left (x\right ) + 2 \, n \log \left (x\right )\right )}}{m + 2 \, n + 1} + \frac {2 \, a c d^{m} x e^{\left (m \log \left (x\right ) + 2 \, n \log \left (x\right )\right )}}{m + 2 \, n + 1} + \frac {2 \, a b d^{m} x e^{\left (m \log \left (x\right ) + n \log \left (x\right )\right )}}{m + n + 1} + \frac {\left (d x\right )^{m + 1} a^{2}}{d {\left (m + 1\right )}} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x)^m*(a+b*x^n+c*x^(2*n))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

c^2*d^m*x*e^(m*log(x) + 4*n*log(x))/(m + 4*n + 1) + 2*b*c*d^m*x*e^(m*log(x) + 3*n*log(x))/(m + 3*n + 1) + b^2*
d^m*x*e^(m*log(x) + 2*n*log(x))/(m + 2*n + 1) + 2*a*c*d^m*x*e^(m*log(x) + 2*n*log(x))/(m + 2*n + 1) + 2*a*b*d^
m*x*e^(m*log(x) + n*log(x))/(m + n + 1) + (d*x)^(m + 1)*a^2/(d*(m + 1))

________________________________________________________________________________________

Fricas [B] Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 706 vs. \(2 (117) = 234\).
time = 0.37, size = 706, normalized size = 6.03 \begin {gather*} \frac {{\left (c^{2} m^{4} + 4 \, c^{2} m^{3} + 6 \, c^{2} m^{2} + 6 \, {\left (c^{2} m + c^{2}\right )} n^{3} + 4 \, c^{2} m + 11 \, {\left (c^{2} m^{2} + 2 \, c^{2} m + c^{2}\right )} n^{2} + c^{2} + 6 \, {\left (c^{2} m^{3} + 3 \, c^{2} m^{2} + 3 \, c^{2} m + c^{2}\right )} n\right )} x x^{4 \, n} e^{\left (m \log \left (d\right ) + m \log \left (x\right )\right )} + 2 \, {\left (b c m^{4} + 4 \, b c m^{3} + 6 \, b c m^{2} + 8 \, {\left (b c m + b c\right )} n^{3} + 4 \, b c m + 14 \, {\left (b c m^{2} + 2 \, b c m + b c\right )} n^{2} + b c + 7 \, {\left (b c m^{3} + 3 \, b c m^{2} + 3 \, b c m + b c\right )} n\right )} x x^{3 \, n} e^{\left (m \log \left (d\right ) + m \log \left (x\right )\right )} + {\left ({\left (b^{2} + 2 \, a c\right )} m^{4} + 4 \, {\left (b^{2} + 2 \, a c\right )} m^{3} + 12 \, {\left (b^{2} + 2 \, a c + {\left (b^{2} + 2 \, a c\right )} m\right )} n^{3} + 6 \, {\left (b^{2} + 2 \, a c\right )} m^{2} + 19 \, {\left ({\left (b^{2} + 2 \, a c\right )} m^{2} + b^{2} + 2 \, a c + 2 \, {\left (b^{2} + 2 \, a c\right )} m\right )} n^{2} + b^{2} + 2 \, a c + 4 \, {\left (b^{2} + 2 \, a c\right )} m + 8 \, {\left ({\left (b^{2} + 2 \, a c\right )} m^{3} + 3 \, {\left (b^{2} + 2 \, a c\right )} m^{2} + b^{2} + 2 \, a c + 3 \, {\left (b^{2} + 2 \, a c\right )} m\right )} n\right )} x x^{2 \, n} e^{\left (m \log \left (d\right ) + m \log \left (x\right )\right )} + 2 \, {\left (a b m^{4} + 4 \, a b m^{3} + 6 \, a b m^{2} + 24 \, {\left (a b m + a b\right )} n^{3} + 4 \, a b m + 26 \, {\left (a b m^{2} + 2 \, a b m + a b\right )} n^{2} + a b + 9 \, {\left (a b m^{3} + 3 \, a b m^{2} + 3 \, a b m + a b\right )} n\right )} x x^{n} e^{\left (m \log \left (d\right ) + m \log \left (x\right )\right )} + {\left (a^{2} m^{4} + 24 \, a^{2} n^{4} + 4 \, a^{2} m^{3} + 6 \, a^{2} m^{2} + 50 \, {\left (a^{2} m + a^{2}\right )} n^{3} + 4 \, a^{2} m + 35 \, {\left (a^{2} m^{2} + 2 \, a^{2} m + a^{2}\right )} n^{2} + a^{2} + 10 \, {\left (a^{2} m^{3} + 3 \, a^{2} m^{2} + 3 \, a^{2} m + a^{2}\right )} n\right )} x e^{\left (m \log \left (d\right ) + m \log \left (x\right )\right )}}{m^{5} + 24 \, {\left (m + 1\right )} n^{4} + 5 \, m^{4} + 50 \, {\left (m^{2} + 2 \, m + 1\right )} n^{3} + 10 \, m^{3} + 35 \, {\left (m^{3} + 3 \, m^{2} + 3 \, m + 1\right )} n^{2} + 10 \, m^{2} + 10 \, {\left (m^{4} + 4 \, m^{3} + 6 \, m^{2} + 4 \, m + 1\right )} n + 5 \, m + 1} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x)^m*(a+b*x^n+c*x^(2*n))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

((c^2*m^4 + 4*c^2*m^3 + 6*c^2*m^2 + 6*(c^2*m + c^2)*n^3 + 4*c^2*m + 11*(c^2*m^2 + 2*c^2*m + c^2)*n^2 + c^2 + 6
*(c^2*m^3 + 3*c^2*m^2 + 3*c^2*m + c^2)*n)*x*x^(4*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 2*(b*c*m^4 + 4*b*c*m^3 + 6*b*c*m
^2 + 8*(b*c*m + b*c)*n^3 + 4*b*c*m + 14*(b*c*m^2 + 2*b*c*m + b*c)*n^2 + b*c + 7*(b*c*m^3 + 3*b*c*m^2 + 3*b*c*m
+ b*c)*n)*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + ((b^2 + 2*a*c)*m^4 + 4*(b^2 + 2*a*c)*m^3 + 12*(b^2 + 2*a*c + (b
^2 + 2*a*c)*m)*n^3 + 6*(b^2 + 2*a*c)*m^2 + 19*((b^2 + 2*a*c)*m^2 + b^2 + 2*a*c + 2*(b^2 + 2*a*c)*m)*n^2 + b^2
+ 2*a*c + 4*(b^2 + 2*a*c)*m + 8*((b^2 + 2*a*c)*m^3 + 3*(b^2 + 2*a*c)*m^2 + b^2 + 2*a*c + 3*(b^2 + 2*a*c)*m)*n)
*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 2*(a*b*m^4 + 4*a*b*m^3 + 6*a*b*m^2 + 24*(a*b*m + a*b)*n^3 + 4*a*b*m + 26*
(a*b*m^2 + 2*a*b*m + a*b)*n^2 + a*b + 9*(a*b*m^3 + 3*a*b*m^2 + 3*a*b*m + a*b)*n)*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x))
+ (a^2*m^4 + 24*a^2*n^4 + 4*a^2*m^3 + 6*a^2*m^2 + 50*(a^2*m + a^2)*n^3 + 4*a^2*m + 35*(a^2*m^2 + 2*a^2*m + a^
2)*n^2 + a^2 + 10*(a^2*m^3 + 3*a^2*m^2 + 3*a^2*m + a^2)*n)*x*e^(m*log(d) + m*log(x)))/(m^5 + 24*(m + 1)*n^4 +
5*m^4 + 50*(m^2 + 2*m + 1)*n^3 + 10*m^3 + 35*(m^3 + 3*m^2 + 3*m + 1)*n^2 + 10*m^2 + 10*(m^4 + 4*m^3 + 6*m^2 +
4*m + 1)*n + 5*m + 1)

________________________________________________________________________________________

Sympy [B] Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 12124 vs. \(2 (107) = 214\).
time = 142.98, size = 12124, normalized size = 103.62 \begin {gather*} \text {Too large to display} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x)**m*(a+b*x**n+c*x**(2*n))**2,x)

[Out]

Piecewise(((a + b + c)**2*log(x)/d, Eq(m, -1) & Eq(n, 0)), ((a**2*log(x) + 2*a*b*x**n/n + a*c*x**(2*n)/n + b**
2*x**(2*n)/(2*n) + 2*b*c*x**(3*n)/(3*n) + c**2*x**(4*n)/(4*n))/d, Eq(m, -1)), (a**2*Piecewise((-1/(4*n*(d*x)**
(4*n)), Ne(n, 0)), (log(x), True))/d + 2*a*b*Piecewise((-x**n/(3*n*(d*x)**(4*n)), Ne(n, 0)), (log(x), True))/d
+ 2*a*c*Piecewise((-x**(2*n)/(2*n*(d*x)**(4*n)), Ne(n, 0)), (log(x), True))/d + b**2*Piecewise((-x**(2*n)/(2*
n*(d*x)**(4*n)), Ne(n, 0)), (log(x), True))/d + 2*b*c*Piecewise((-x**(3*n)/(n*(d*x)**(4*n)), Ne(n, 0)), (log(x
), True))/d + c**2*Piecewise((0, (Abs(x) < 1) & (1/Abs(x) < 1)), (log(x)/d**(4*n), Abs(x) < 1), (-log(1/x)/d**
(4*n), 1/Abs(x) < 1), (-meijerg(((), (1, 1)), ((0, 0), ()), x)/d**(4*n) + meijerg(((1, 1), ()), ((), (0, 0)),
x)/d**(4*n), True))/d, Eq(m, -4*n - 1)), (a**2*Piecewise((-1/(3*n*(d*x)**(3*n)), Ne(n, 0)), (log(x), True))/d
+ 2*a*b*Piecewise((-x**n/(2*n*(d*x)**(3*n)), Ne(n, 0)), (log(x), True))/d + 2*a*c*Piecewise((-x**(2*n)/(n*(d*x
)**(3*n)), Ne(n, 0)), (log(x), True))/d + b**2*Piecewise((-x**(2*n)/(n*(d*x)**(3*n)), Ne(n, 0)), (log(x), True
))/d + 2*b*c*Piecewise((0, (Abs(x) < 1) & (1/Abs(x) < 1)), (log(x)/d**(3*n), Abs(x) < 1), (-log(1/x)/d**(3*n),
1/Abs(x) < 1), (-meijerg(((), (1, 1)), ((0, 0), ()), x)/d**(3*n) + meijerg(((1, 1), ()), ((), (0, 0)), x)/d**
(3*n), True))/d + c**2*Piecewise((x**(4*n)/(n*(d*x)**(3*n)), Ne(n, 0)), (log(x), True))/d, Eq(m, -3*n - 1)), (
a**2*Piecewise((-1/(2*n*(d*x)**(2*n)), Ne(n, 0)), (log(x), True))/d + 2*a*b*Piecewise((-x**n/(n*(d*x)**(2*n)),
Ne(n, 0)), (log(x), True))/d + 2*a*c*Piecewise((0, (Abs(x) < 1) & (1/Abs(x) < 1)), (log(x)/d**(2*n), Abs(x) <
1), (-log(1/x)/d**(2*n), 1/Abs(x) < 1), (-meijerg(((), (1, 1)), ((0, 0), ()), x)/d**(2*n) + meijerg(((1, 1),
()), ((), (0, 0)), x)/d**(2*n), True))/d + b**2*Piecewise((0, (Abs(x) < 1) & (1/Abs(x) < 1)), (log(x)/d**(2*n)
, Abs(x) < 1), (-log(1/x)/d**(2*n), 1/Abs(x) < 1), (-meijerg(((), (1, 1)), ((0, 0), ()), x)/d**(2*n) + meijerg
(((1, 1), ()), ((), (0, 0)), x)/d**(2*n), True))/d + 2*b*c*Piecewise((x**(3*n)/(n*(d*x)**(2*n)), Ne(n, 0)), (l
og(x), True))/d + c**2*Piecewise((x**(4*n)/(2*n*(d*x)**(2*n)), Ne(n, 0)), (log(x), True))/d, Eq(m, -2*n - 1)),
(a**2*Piecewise((-1/(n*(d*x)**n), Ne(n, 0)), (log(x), True))/d + 2*a*b*Piecewise((0, (Abs(x) < 1) & (1/Abs(x)
< 1)), (log(x)/d**n, Abs(x) < 1), (-log(1/x)/d**n, 1/Abs(x) < 1), (-meijerg(((), (1, 1)), ((0, 0), ()), x)/d*
*n + meijerg(((1, 1), ()), ((), (0, 0)), x)/d**n, True))/d + 2*a*c*Piecewise((x**(2*n)/(n*(d*x)**n), Ne(n, 0))
, (log(x), True))/d + b**2*Piecewise((x**(2*n)/(n*(d*x)**n), Ne(n, 0)), (log(x), True))/d + 2*b*c*Piecewise((x
**(3*n)/(2*n*(d*x)**n), Ne(n, 0)), (log(x), True))/d + c**2*Piecewise((x**(4*n)/(3*n*(d*x)**n), Ne(n, 0)), (lo
g(x), True))/d, Eq(m, -n - 1)), (a**2*m**4*x*(d*x)**m/(m**5 + 10*m**4*n + 5*m**4 + 35*m**3*n**2 + 40*m**3*n +
10*m**3 + 50*m**2*n**3 + 105*m**2*n**2 + 60*m**2*n + 10*m**2 + 24*m*n**4 + 100*m*n**3 + 105*m*n**2 + 40*m*n +
5*m + 24*n**4 + 50*n**3 + 35*n**2 + 10*n + 1) + 10*a**2*m**3*n*x*(d*x)**m/(m**5 + 10*m**4*n + 5*m**4 + 35*m**3
*n**2 + 40*m**3*n + 10*m**3 + 50*m**2*n**3 + 105*m**2*n**2 + 60*m**2*n + 10*m**2 + 24*m*n**4 + 100*m*n**3 + 10
5*m*n**2 + 40*m*n + 5*m + 24*n**4 + 50*n**3 + 35*n**2 + 10*n + 1) + 4*a**2*m**3*x*(d*x)**m/(m**5 + 10*m**4*n +
5*m**4 + 35*m**3*n**2 + 40*m**3*n + 10*m**3 + 50*m**2*n**3 + 105*m**2*n**2 + 60*m**2*n + 10*m**2 + 24*m*n**4
+ 100*m*n**3 + 105*m*n**2 + 40*m*n + 5*m + 24*n**4 + 50*n**3 + 35*n**2 + 10*n + 1) + 35*a**2*m**2*n**2*x*(d*x)
**m/(m**5 + 10*m**4*n + 5*m**4 + 35*m**3*n**2 + 40*m**3*n + 10*m**3 + 50*m**2*n**3 + 105*m**2*n**2 + 60*m**2*n
+ 10*m**2 + 24*m*n**4 + 100*m*n**3 + 105*m*n**2 + 40*m*n + 5*m + 24*n**4 + 50*n**3 + 35*n**2 + 10*n + 1) + 30
*a**2*m**2*n*x*(d*x)**m/(m**5 + 10*m**4*n + 5*m**4 + 35*m**3*n**2 + 40*m**3*n + 10*m**3 + 50*m**2*n**3 + 105*m
**2*n**2 + 60*m**2*n + 10*m**2 + 24*m*n**4 + 100*m*n**3 + 105*m*n**2 + 40*m*n + 5*m + 24*n**4 + 50*n**3 + 35*n
**2 + 10*n + 1) + 6*a**2*m**2*x*(d*x)**m/(m**5 + 10*m**4*n + 5*m**4 + 35*m**3*n**2 + 40*m**3*n + 10*m**3 + 50*
m**2*n**3 + 105*m**2*n**2 + 60*m**2*n + 10*m**2 + 24*m*n**4 + 100*m*n**3 + 105*m*n**2 + 40*m*n + 5*m + 24*n**4
+ 50*n**3 + 35*n**2 + 10*n + 1) + 50*a**2*m*n**3*x*(d*x)**m/(m**5 + 10*m**4*n + 5*m**4 + 35*m**3*n**2 + 40*m*
*3*n + 10*m**3 + 50*m**2*n**3 + 105*m**2*n**2 + 60*m**2*n + 10*m**2 + 24*m*n**4 + 100*m*n**3 + 105*m*n**2 + 40
*m*n + 5*m + 24*n**4 + 50*n**3 + 35*n**2 + 10*n + 1) + 70*a**2*m*n**2*x*(d*x)**m/(m**5 + 10*m**4*n + 5*m**4 +
35*m**3*n**2 + 40*m**3*n + 10*m**3 + 50*m**2*n**3 + 105*m**2*n**2 + 60*m**2*n + 10*m**2 + 24*m*n**4 + 100*m*n*
*3 + 105*m*n**2 + 40*m*n + 5*m + 24*n**4 + 50*n**3 + 35*n**2 + 10*n + 1) + 30*a**2*m*n*x*(d*x)**m/(m**5 + 10*m
**4*n + 5*m**4 + 35*m**3*n**2 + 40*m**3*n + 10*m**3 + 50*m**2*n**3 + 105*m**2*n**2 + 60*m**2*n + 10*m**2 + 24*
m*n**4 + 100*m*n**3 + 105*m*n**2 + 40*m*n + 5*m + 24*n**4 + 50*n**3 + 35*n**2 + 10*n + 1) + 4*a**2*m*x*(d*x)**
m/(m**5 + 10*m**4*n + 5*m**4 + 35*m**3*n**2 + 4...

________________________________________________________________________________________

Giac [B] Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 5454 vs. \(2 (117) = 234\).
time = 3.70, size = 5454, normalized size = 46.62 \begin {gather*} \text {Too large to display} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x)^m*(a+b*x^n+c*x^(2*n))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

(c^2*m^4*x*x^(4*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 6*c^2*m^3*n*x*x^(4*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 11*c^2*m^2*n^2*x*
x^(4*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 6*c^2*m*n^3*x*x^(4*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 2*b*c*m^4*x*x^(3*n)*e^(m*log
(d) + m*log(x)) + c^2*m^4*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 14*b*c*m^3*n*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) +
6*c^2*m^3*n*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 28*b*c*m^2*n^2*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 11*c^2*m^2
*n^2*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 16*b*c*m*n^3*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 6*c^2*m*n^3*x*x^(3*n
)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + b^2*m^4*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 2*a*c*m^4*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*lo
g(x)) + 2*b*c*m^4*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + c^2*m^4*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 8*b^2*m^3*n*
x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 16*a*c*m^3*n*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 14*b*c*m^3*n*x*x^(2*n)*e^
(m*log(d) + m*log(x)) + 6*c^2*m^3*n*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 19*b^2*m^2*n^2*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) +
m*log(x)) + 38*a*c*m^2*n^2*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 28*b*c*m^2*n^2*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x
)) + 11*c^2*m^2*n^2*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 12*b^2*m*n^3*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 24*a*
c*m*n^3*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 16*b*c*m*n^3*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 6*c^2*m*n^3*x*x^(
2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 2*a*b*m^4*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + b^2*m^4*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x))
+ 2*a*c*m^4*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 2*b*c*m^4*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + c^2*m^4*x*x^n*e^(m*log(
d) + m*log(x)) + 18*a*b*m^3*n*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 8*b^2*m^3*n*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 16*a
*c*m^3*n*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 14*b*c*m^3*n*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 6*c^2*m^3*n*x*x^n*e^(m*l
og(d) + m*log(x)) + 52*a*b*m^2*n^2*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 19*b^2*m^2*n^2*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)
) + 38*a*c*m^2*n^2*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 28*b*c*m^2*n^2*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 11*c^2*m^2*n
^2*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 48*a*b*m*n^3*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 12*b^2*m*n^3*x*x^n*e^(m*log(d)
+ m*log(x)) + 24*a*c*m*n^3*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 16*b*c*m*n^3*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 6*c^2
*m*n^3*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + a^2*m^4*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 2*a*b*m^4*x*e^(m*log(d) + m*log(x))
+ b^2*m^4*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 2*a*c*m^4*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 2*b*c*m^4*x*e^(m*log(d) + m*log(x
)) + c^2*m^4*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 10*a^2*m^3*n*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 18*a*b*m^3*n*x*e^(m*log(d) +
m*log(x)) + 8*b^2*m^3*n*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 16*a*c*m^3*n*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 14*b*c*m^3*n*x*e
^(m*log(d) + m*log(x)) + 6*c^2*m^3*n*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 35*a^2*m^2*n^2*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 52
*a*b*m^2*n^2*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 19*b^2*m^2*n^2*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 38*a*c*m^2*n^2*x*e^(m*log(
d) + m*log(x)) + 28*b*c*m^2*n^2*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 11*c^2*m^2*n^2*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 50*a^2*
m*n^3*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 48*a*b*m*n^3*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 12*b^2*m*n^3*x*e^(m*log(d) + m*log(
x)) + 24*a*c*m*n^3*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 16*b*c*m*n^3*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 6*c^2*m*n^3*x*e^(m*log
(d) + m*log(x)) + 24*a^2*n^4*x*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 4*c^2*m^3*x*x^(4*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 18*c^2*
m^2*n*x*x^(4*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 22*c^2*m*n^2*x*x^(4*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 6*c^2*n^3*x*x^(4*n)
*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 8*b*c*m^3*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 4*c^2*m^3*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*l
og(x)) + 42*b*c*m^2*n*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 18*c^2*m^2*n*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 56*
b*c*m*n^2*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 22*c^2*m*n^2*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 16*b*c*n^3*x*x^
(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 6*c^2*n^3*x*x^(3*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 4*b^2*m^3*x*x^(2*n)*e^(m*log(d)
+ m*log(x)) + 8*a*c*m^3*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 8*b*c*m^3*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 4*c^
2*m^3*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 24*b^2*m^2*n*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 48*a*c*m^2*n*x*x^(2
*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 42*b*c*m^2*n*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 18*c^2*m^2*n*x*x^(2*n)*e^(m*log
(d) + m*log(x)) + 38*b^2*m*n^2*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 76*a*c*m*n^2*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(
x)) + 56*b*c*m*n^2*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 22*c^2*m*n^2*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 12*b^2
*n^3*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 24*a*c*n^3*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 16*b*c*n^3*x*x^(2*n)*e
^(m*log(d) + m*log(x)) + 6*c^2*n^3*x*x^(2*n)*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 8*a*b*m^3*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x))
+ 4*b^2*m^3*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 8*a*c*m^3*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 8*b*c*m^3*x*x^n*e^(m*lo
g(d) + m*log(x)) + 4*c^2*m^3*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 54*a*b*m^2*n*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 24*b
^2*m^2*n*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 48*a*c*m^2*n*x*x^n*e^(m*log(d) + m*log(x)) + 42*b*c*m^2*n*x*x^n*e^(m*
log(d) + m*log(x)) + 18*c^2*m^2*n*x*x^n*e^(m*lo...

________________________________________________________________________________________

Mupad [B]
time = 1.62, size = 543, normalized size = 4.64 \begin {gather*} \frac {a^2\,x\,{\left (d\,x\right )}^m}{m+1}+\frac {x\,x^{2\,n}\,{\left (d\,x\right )}^m\,\left (b^2+2\,a\,c\right )\,\left (m^3+8\,m^2\,n+3\,m^2+19\,m\,n^2+16\,m\,n+3\,m+12\,n^3+19\,n^2+8\,n+1\right )}{m^4+10\,m^3\,n+4\,m^3+35\,m^2\,n^2+30\,m^2\,n+6\,m^2+50\,m\,n^3+70\,m\,n^2+30\,m\,n+4\,m+24\,n^4+50\,n^3+35\,n^2+10\,n+1}+\frac {c^2\,x\,x^{4\,n}\,{\left (d\,x\right )}^m\,\left (m^3+6\,m^2\,n+3\,m^2+11\,m\,n^2+12\,m\,n+3\,m+6\,n^3+11\,n^2+6\,n+1\right )}{m^4+10\,m^3\,n+4\,m^3+35\,m^2\,n^2+30\,m^2\,n+6\,m^2+50\,m\,n^3+70\,m\,n^2+30\,m\,n+4\,m+24\,n^4+50\,n^3+35\,n^2+10\,n+1}+\frac {2\,a\,b\,x\,x^n\,{\left (d\,x\right )}^m\,\left (m^3+9\,m^2\,n+3\,m^2+26\,m\,n^2+18\,m\,n+3\,m+24\,n^3+26\,n^2+9\,n+1\right )}{m^4+10\,m^3\,n+4\,m^3+35\,m^2\,n^2+30\,m^2\,n+6\,m^2+50\,m\,n^3+70\,m\,n^2+30\,m\,n+4\,m+24\,n^4+50\,n^3+35\,n^2+10\,n+1}+\frac {2\,b\,c\,x\,x^{3\,n}\,{\left (d\,x\right )}^m\,\left (m^3+7\,m^2\,n+3\,m^2+14\,m\,n^2+14\,m\,n+3\,m+8\,n^3+14\,n^2+7\,n+1\right )}{m^4+10\,m^3\,n+4\,m^3+35\,m^2\,n^2+30\,m^2\,n+6\,m^2+50\,m\,n^3+70\,m\,n^2+30\,m\,n+4\,m+24\,n^4+50\,n^3+35\,n^2+10\,n+1} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^2,x)

[Out]

(a^2*x*(d*x)^m)/(m + 1) + (x*x^(2*n)*(d*x)^m*(2*a*c + b^2)*(3*m + 8*n + 16*m*n + 19*m*n^2 + 8*m^2*n + 3*m^2 +
m^3 + 19*n^2 + 12*n^3 + 1))/(4*m + 10*n + 30*m*n + 70*m*n^2 + 30*m^2*n + 50*m*n^3 + 10*m^3*n + 6*m^2 + 4*m^3 +
m^4 + 35*n^2 + 50*n^3 + 24*n^4 + 35*m^2*n^2 + 1) + (c^2*x*x^(4*n)*(d*x)^m*(3*m + 6*n + 12*m*n + 11*m*n^2 + 6*
m^2*n + 3*m^2 + m^3 + 11*n^2 + 6*n^3 + 1))/(4*m + 10*n + 30*m*n + 70*m*n^2 + 30*m^2*n + 50*m*n^3 + 10*m^3*n +
6*m^2 + 4*m^3 + m^4 + 35*n^2 + 50*n^3 + 24*n^4 + 35*m^2*n^2 + 1) + (2*a*b*x*x^n*(d*x)^m*(3*m + 9*n + 18*m*n +
26*m*n^2 + 9*m^2*n + 3*m^2 + m^3 + 26*n^2 + 24*n^3 + 1))/(4*m + 10*n + 30*m*n + 70*m*n^2 + 30*m^2*n + 50*m*n^3
+ 10*m^3*n + 6*m^2 + 4*m^3 + m^4 + 35*n^2 + 50*n^3 + 24*n^4 + 35*m^2*n^2 + 1) + (2*b*c*x*x^(3*n)*(d*x)^m*(3*m
+ 7*n + 14*m*n + 14*m*n^2 + 7*m^2*n + 3*m^2 + m^3 + 14*n^2 + 8*n^3 + 1))/(4*m + 10*n + 30*m*n + 70*m*n^2 + 30
*m^2*n + 50*m*n^3 + 10*m^3*n + 6*m^2 + 4*m^3 + m^4 + 35*n^2 + 50*n^3 + 24*n^4 + 35*m^2*n^2 + 1)

________________________________________________________________________________________